Respostas

2013-09-14T08:10:11-03:00
Lguns cálculos algébricos possuem uma forma padronizada de respostas e podem ser resolvidos através de situações generalizadas. Os produtos notáveis podem ser resolvidos aplicando algumas generalizações que serão expostas a seguir:

Quadrado da soma

Podemos expressar o quadrado da soma pela generalização (x+y)² ou (x+y)(x+y).
O cálculo (x+y)(x+y) pode ser resolvido aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Temos:

x*x + xy + yx + y*y = x² + 2xy + y² 

Regra prática
“O quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.


Quadrado da diferença

Generalizando temos (x-y)² ou (x-y)(x-y):

x*x – xy – yx + y*y = x² – 2xy + y² 

Regra prática
“O quadrado do primeiro termo menos duas vezes o primeiro termo vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.


Produto da soma pela diferença

Generalizando temos (x+y)(x-y):

x*x – xy + yx – y*y = x² – y² 

Regra prática
“Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.



Cubo da soma

Generalizando temos (x+y)³ ou (x+y)*(x+y)*(x+y):

(x² + xy + xy + y²) (x+y)
(x² + 2xy + y²) (x+y)
x³ + x²y + 2x²y + 2xy² + xy² + y³
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 


Regra prática

“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo”.



Cubo da diferença

Generalizando temos (x–y)³ ou (x– y)*(x– y)*(x– y):

(x² – xy – xy + y²) (x–y)
(x² – 2xy + y²) (x–y)
x³ – x²y – 2x²y + 2xy² + xy² – y³
x³ – 3x²y + 3xy² – y³ 

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo”.

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2013-09-14T08:44:14-03:00

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PRODUTOS NOTÁVEIS

Considere os exercícios:

Quadrado da soma de dois termos

A regra básica para se determinar o quadrado da soma de dois termos é multiplicar estes termos e reduzir os termos semelhantes somando os dois termos centrais do produto notável, veja:

a) (2a+5b)² ==> ponha as parcelas dispostas como se pede no expoente, assim:
         ______
         |     |    |
(2a+5b) (2a+5b) ==> aplicando a distributiva da multiplicação, temos: 
  |______|___|

4a²+10ab+10ab+25b² reduzindo os termos semelhantes, somando-os:

4a²+20ab+25b²


b) (x+2y)² dispondo as parcelas como se pede no expoente, vem:
 
(x+2y) (x+2y) ==> x²+2xy+2xy+4y² reduzindo os termos semelhantes, temos ==>

<==> x²+4xy+4y²

Quadrado da diferença de dois termos

A mesma regra se aplica para o quadrado da diferença de dois termos, veja: 

c) (2x-9y)² dispondo novamente como se pede o expoente, temos:

(2x-9y) (2x-9y) ==> 4x²-18xy-18xy+81y² reduzindo os termos semelhantes, temos:

4x²-36xy+81y²


d) (5xy²-2y)² ==> seguindo as mesmas regras, vem:

(5xy²-2y) (5xy²-2y) ==>  25x^{2} y^{4}-10xy ^{3}-10 xy^{3}+4 y^{2}     reduzindo

sempre que necessário os termos semelhantes, vem:

 25 x^{2} y^{4}-20 xy^{3}+ 4y^{2}


Diferença de dois quadrados

Para a diferença de dois quadrados, a situação fica um pouco mais simples

e) (2a+b) (2a-b) ==> para desenvolvermos este produto notável, basta multiplicarmos 

os termos extremos, pois os termos centrais se anulam, então o produto ficará assim: (4a²-b²)


f) (2a+3b) (2xa-3b) ==>

<==> 4a²-9b²  muito simples


Cubo da soma

g) (a+3b)³ expondo as parcelas como pede a potência, temos:
      _______
      |       |    |
(a+3b) * (a+3b) * (a+3b)
 |_______|__|

Para facilitar o desenvolvimento deste produto, vamos efetuar a multiplicação nas duas primeiras parcelas, reduzir os termos semelhantes pela soma algébrica e multiplicarmos pela parcela restante, assim:

(a²+3ab+3ab+9b²) ==> (a²+6ab+9b²) agora vamos multiplica-lo pela parcela restante, assim:
      ____________
      |        |     |      |
(a+3b) * (a²+6ab+9b²) ==> a³+6a²b+9ab²+3a²b+18ab²+27b³ reduzindo os termos
 |_______|___|____|

semelhantes, temos: a³+9a²b+27ab²+27b³


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