Se em todos os 100 números de um conjunto, cuja média é igual a 20 e o desvio padrão é igual a 10, somarmos uma mesma constante igual a 25, a nova média e o novo desvio padrão serão, respectivamente, iguais a:
a)45 e 10
b)45 e 35
c)45 e 110
d)250 e 10
e)não tem como calcular os valores

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Respostas

2013-10-07T19:40:58-03:00
Para calcular a média fazemos:

m= \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

Foi dado que m=20. Então:

m= \frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100}=20

Assim, se se somarmos uma constante c=25 a todo elemento teremos:

m_1= \frac{(a_1+25)+(a_2+25)+...+(a_{100}+25)}{100}

m_1= \frac{a_1+25+a_2+25+...+a_{100}+25}{100}

m_1= \frac{25.100+a_1+a_2+...+a_{100}}{100}

m_1= \frac{25.100}{100}+\frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100}

m_1= 25+m

Logo a nova média será a média anterior mais 25. Como m=20, teremos:

m_1= 25+m

m_1= 25+20

m_1= 45

A nova média é 45.

Como o desvio padrão d é soma das diferenças de todos os números pela média temos:

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }

Onde x_i é cada item dos 100 números e m a média dos 100 números. Sabemos que a nova média é m_1= 25+m e os números somados com 25 ficam assim x_i+25. Substituindo na fórmula do desvio padrão, teremos:

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-m_1)^2 }

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-(m+25))^2 }

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-m-25)^2 }

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-25-m)^2 }

d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }

Podemos perceber que após as substituições a fórmula permaneceu a mesma. Logo, o desvio padrão permanece o mesmo, igual a 10.

Portanto, a resposta é a letra a).
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