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2013-10-14T15:35:05-03:00
Vamos lá!
Temos a seguinte sequência
(x+1)< (2x)<(x^2+1)

Como é uma progressão geométrica, o termo médio é a média aritmética dos extremos. 
Os termos são 
a_1 = x+ 1
a_2 = 2x
a_3 = x^2 +1

a_2 portanto, é nossa média aritmética. 


Sendo assim, 
a_2 = \dfrac{a_1+a_3}{2}

2x = \dfrac{(x+1)+(x^2+1)}{2}
2x\times2 = (x+1)+(x^2+1)
4x = x^2 + x + 2
x^2 + x + 2 - 4x = 0
x^2 + 2 - 3x = 0

Uma equação do 2º grau. Por Bhaskara, 
x^2 - 3x + 2 = 0
a = 1&#10;
b = -3
c = 2

x = \dfrac{-b \pm  \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{-3^2-4\times1\times2}}{2\times1}
x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{9-8}}{2}
x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{1}}{2}
x = \dfrac{+3 \pm1}{2}
x' = 1
x'' = 2

Como achamos duas medidas positivas para x, devemos conferir, qual dos dois valores nos entregará um valor que atenda as condições, pedidas pelo exercício:
No caso do x'
a_1 = x+ 1 = 1 + 1 = 2 
a_2 = 2x = 2\times1 = 2
a_3 = x^2 +1 = 1^2 + 1 = 2

Quando o x = 1, as condições do exercício não são atendidas, isto é, com x', não é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são iguais a 2 (como foi demonstrado acima). Isso nos entregaria um triângulo equilátero. Logo, x' está descartada.

No caso do x''
a_1 = x+ 1 = 2+ 1 = 3 
a_2 = 2x = 2\times2 = 4
a_3 = x^2 +1 = 2^2 + 1 = 5

Quando o x = 2, as condições do exercício serão atendidas, isto é, com x'', é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são diferentes (como foi demonstrado acima). Nesse triângulo retângulo. Logo, x'' é válida.


Tendo a medida dos valores dos lados deste triângulo, 
Hipotenusa = a_3 = (x^2 + 1) = 5 (Por ser a maior das medidas)
Cateto' = Base = a_1 = (x + 1) = 3
Cateto'' = Altura = a_2 = (2x) = 4

Cálculo do Perímetro (Soma de todos os lados):
Hipotenusa + Base + Altura =
5 + 3 + 4 = 12

Cálculo do Área
\dfrac{Base\times{Altura}}{2}
At = \dfrac{3 \times 4}{2}
At = \dfrac{12}{2}
At = 6&#10;

Resposta Final:
Área desse triângulo retângulo = 6
Perímetro = 12

2 2 2