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2013-10-15T16:32:36-03:00
 \lim_{x \to 3}  \frac{x^2-8x+15}{x^2-9}

Para resolver tal questão devemos procurar simplificar primeiramente encontrando as raízes da equação no numerador e do denominador. Assim:

 x^2-8x+15=0

Vamos resolver usando a fórmula de Báskara, onde:

x=\frac{-b \pm \sqrt{Delta}}{2a}

Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4.1.15=64-60=4

x_1=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2.1}

x_1=\frac{8+2}{2}=\frac{10}{2}=5

x_2=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2.1}

x_2=\frac{8-2}{2}=\frac{6}{2}=3

Sabendo as raízes podemos reescrever a equação assim:

 x^2-8x+15=(x-5)(x-3)

Vamos fazer a mesma coisa com a equação do denominador, mas neste caso podemos usar um método diferente, pois podemos perceber que a equação é o resultado do produto da diferença de dois quadrados. Assim:

x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)

Agora podemos voltar pro limite e simplificar a expressão:

 \lim_{x \to 3} \frac{x^2-8x+15}{x^2-9}

 \lim_{x \to 3} \frac{(x-5)(x-3)}{(x+3)(x-3)}

 \lim_{x \to 3} \frac{(x-5).1}{(x+3).1}

 \lim_{x \to 3} \frac{(x-5)}{(x+3)}

Então quando x tender para 3 o limite da expressão tenderá para [/tex]\frac{-1}{3}[/tex], desta forma:

 \lim_{x \to 3} \frac{(x-5)}{(x+3)}=\frac{(3-5)}{(3+3)}=\frac{-2}{6}=\frac{-1}{3}