O desenho seguinte pode ser utilizado para evidenciar relações entre significados algébricos e geométricos, com o objetivo de apresentar um caso de fatoração ou, dependendo do sentido em que se analisa o desenho, um caso de produto notável. Qual é o caso de produto notável (ou de fatoração) que pode ser explorado com base nessa representação? Justifique sua resposta realizando as passagens algébricas necessárias.

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Respostas

2013-10-16T21:11:04-03:00
Vamos calcular as áreas das figuras.

Na primeira temos um quadrado de lado a. Sabemos que a área de um quadrado é:

A=lado^2

Assim a área do primeiro quadrado será:

A_4M=a^2

Se cortarmos deste quadrado um pedaço b na largura e na altura estaremos retirando 2 retângulos de dimensões a e b. Sendo que cada retângulo tem a área definida por:

A=base.altura

A_R=a.b

A_R=ab

Mas, note que estes retângulos tem um pedaço em comum (quadrado de lado b em vermelho na figura III). Então a parte tirada do quadrado maior pelo segundo retângulo será a mesma área do retângulo A_R menos a área do quadrado menor (A_4m=b^2). Assim:

A_r=A_R-A_4m

A_r=ab-b^2

Agora para saber a área do quadrado que sobrou (A_S) na figura IV depois dos cortes devemos pegar a área do quadrado maior (A_4M) e subtrair as áreas dos retângulos tirados (A_R e A_r). Assim:

A_S=A_4M-(A_R+A_r)

A_S=a^2-(ab+ab-b^2)

A_S=a^2-ab-ab+b^2

A_S=a^2-2ab+b^2

Portanto esta será a área do quadrado que sobrou. Mas, podemos ver que o lado deste quadrado mede a-b pois foi tirado b do lado do quadrado maior, a. E sabemos que fórmula da área do quadrado é:

A=lado^2

Então, vamos calcular a área do quadrado resultante sabendo a medida do seu lado (a-b). Assim:

A_S=(a-b)^2

Agora vamos igualar as duas expressões que encontramos para a área deste quadrado que sobrou assim:

A_S=A_S

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Desta forma, provamos geometricamente a fórmula do produto notável da diferença.