CombinatóriaUm jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ouCombinatória

Um jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ou “Campo
Minado”. Nele, uma certa quantidade de bombas é distribuída num “campo”
quadriculado e o jogador precisa descobrir (e não clicar) em quais quadradinhos
estão colocadas as bombas. No quadradinho onde aparece um número é certeza que
não há uma bomba. Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradinho
indica quantas bombas há nos quadradinhos que o cercam. Para revelar um
quadradinho, basta clicar nele com o mouse. Se revelar uma bomba, perde o jogo.



(A)
No jogo representado na figura a seguir, o campo
é um quadriculado 9x9 e existem 5 bombas distribuídas neste campo. Quantas
configurações distintas existem para a alocação das 5 bombas nesta situação
inicial?

(B) No primeiro quadradinho revelado pelo jogador apareceu o número 3. Isso significa que nele não existe uma bomba e que ao seu redor existem exatamente 3 bombas: elas estão nos oito quadradinhos que circulam o número 3. Sabendo disso, quantas configurações distintas existem para o posicionamento das bombas na situação da figura a seguir?

Combinatória
Um jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ou “Campo
Minado”. Nele, uma certa quantidade de bombas é distribuída num “campo”
quadriculado e o jogador precisa descobrir (e não clicar) em quais quadradinhos
estão colocadas as bombas. No quadradinho onde aparece um número é certeza que
não há uma bomba. Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradinho
indica quantas bombas há nos quadradinhos que o cercam. Para revelar um
quadradinho, basta clicar nele com o mouse. Se revelar uma bomba, perde o jogo.



(A)
No jogo representado na figura a seguir, o campo
é um quadriculado 9x9 e existem 5 bombas distribuídas neste campo. Quantas
configurações distintas existem para a alocação das 5 bombas nesta situação
inicial?

(B) No primeiro quadradinho revelado pelo jogador apareceu o número 3. Isso significa que nele não existe uma bomba e que ao seu redor existem exatamente 3 bombas: elas estão nos oito quadradinhos que circulam o número 3. Sabendo disso, quantas configurações distintas existem para o posicionamento das bombas na situação da figura a seguir?

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Respostas

2013-10-17T11:10:44-03:00
A)
O quadriculado, 9\times9, fornece 81 locais disponíveis para as bombas.
Se você tem 5 bombas, e quer distribuí-las, vejamos as situações.
No primeiro momento, não há nenhuma bomba no campo, temos 81 casas ao dispor da primeira bomba. Portanto, para a primeira bomba há 81 locais diferentes para colocá-la. Não interessa onde foi colocada a primeira bomba, não estamos trabalhando com casos específicos, mas o fato é que ela foi colocada em algum lugar certo? Sobram agora 80 casas para a segunda bomba. Colocada a segunda bomba, já foram ocupados 2 lugares do campo, então, temos para a terceira bomba, 79 locais disponíveis. Seguindo a mesma lógica, tenho 78 locais para a quarta bomba e 77 locais para a última.
Só expliquei o que acontece nessa simples conta aqui, 
C_{81,5}=\dfrac{81!}{5!(81-5)!}

C_{81,5}=\dfrac{81!}{5!76!}

C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77\times76!}{5!76!}

C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77}{5!}

C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77}{5\times4\times3\times2\times1}

C_{81,5}=\dfrac{3074591520}{120}

C_{81,5}=25621596


B)
Aqui temos posições fixas das bombas. São cinco bombas a serem colocas, mas três já sabemos onde estão, portanto, nos restam colocar duas bombas.
Um quadradinho foi revelado, então, neste não pode estar a bomba (senão o campo haveria 'explodido'). 
Nesse quadradinho, havia a informação de que três bombas o rodeavam. Portanto, sabemos que estes três quadradinhos não podem ser usados para as duas bombas (não podemos colocar bombas em cima de outras). 
O total, 81, temos 4 que não podem ser contados, 
81-4=77
Então temos, 
C_{77,2}=\dfrac{77!}{2!(77-2)!}
C_{77,2}=\dfrac{77!}{2!75!}
C_{77,2}=\dfrac{77\times76\times75!}{2!75!}
C_{77,2}=\dfrac{77\times76}{2!}
C_{77,2}=\dfrac{5852}{2}
C_{77,2}=2926
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