Quetão de P.G(progressoes geométricas)

Uma dívida deve ser paga em quatro parcelas de valores decrescentes em P.G segundo uma razão constante. Calcular o valor da dívida sabendo que a primeira parcela é de R$ 6400,00 e a quarta é de R$ 800,00.

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Respostas

2016-07-02T11:40:41-03:00

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Tratando-se de quatro parcelas e de uma progressão geométrica, teremos o seguinte formato:
P.G.: (a_1, ~a_2, ~a_3, ~a_4)

Onde "a1" representa a primeira parcela, "a2" a segunda parcela, etc.

Segundo o enunciado, temos os valores da primeira e da última parcela, portanto, substituindo:
P.G.: (R\$ ~6400 , ~a_2, ~a_3, ~R\$ ~800)

A fórmula geral de uma progressão geométrica:
a_n= a_1 \cdot q^{n-1}

Vamos aplicá-la na última parcela.
a_n= a_1 \cdot q^{n-1} \\ \\ a_4= a_1 \cdot q^{4-1} \\ \\ a_4= a_1 \cdot q^{3}

Agora basta substituir e encontrar a razão (q) da progressão geométrica.
a_4= a_1 \cdot q^{3} \\ \\
800= 6400 \cdot q^3 \\ \\
 \frac{8\not0\not0}{64\not0\not0} = q^3 \\ \\
 \sqrt[3]{ \frac{8}{64} } = q \\ \\
  \frac{2}{4} = q \\ \\
 \boxed{\frac{1}{2} = q}

Como sabemos a razão da progressão geométrica, podemos encontrar todos os outros termos utilizando a equação geral.

Encontrando o termo a2:
a_n= a_1 \cdot q^{n-1} \\ \\
a_2= 6400 \cdot  \frac{1}{2} \\ \\
\boxed{a_2= 3200}

Encontrando o termo a3:
a_n= a_1 \cdot q^{n-1} \\ \\
a_3= 6400 \cdot  (\frac{1}{2}) ^{2} \\ \\
a_3= 6400 \cdot  \frac{1}{4} \\ \\
\boxed{a_3= 1600}

Por fim, teremos os seguintes dados:
\boxed{P.G.: (R\$ ~6400, R\$ ~3200, R\$ ~1600, R\$ ~800)}

Como as quatro parcelas representam o total da dívida, vamos somá-las a fim de encontrar o que o enunciado pede.
T_{otal}= 6400+3200+1600+800 \\ \\
\boxed{\boxed{T_{otal}= R\$ ~12000}}
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