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2013-10-25T11:43:36-02:00

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P.G(a_{1},a_{2},a_{3})

a_{1} + a_{2} + a_{3} = 105
a_{1} + (a_{1}*q) + (a_{1}*q^{2})=105

Colocando a1 em evidência:

a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105
__________

a_{1}*a_{2}*a_{3}=27000
a_{1}*(a_{1}*q)*(a_{1}*q^{2})=27*1000
a_{1}*a_{1}*q*a_{1}*q^{2} = 3^{3}*10^{3}
(a_{1})^{3}*q^{3}=(3*10)^{3}
(a_{1})^{3}*q^{3}=30^{3}

Aplicando raiz cúbica em todos os membros da equação:

 \sqrt[3]{(a_{1})^{3}}* \sqrt[3]{q^{3}}  = \sqrt[3]{30^{3}}
a_{1}*q = 30
__________

 \left \{ {{a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105} \atop {a_{1}*q = 30}} \right.

Dividindo uma pela outra:

a_{1}(1+q+q^{2})/(a_{1}*q) = 105/30
(1+q+q^{2})/q = 7/2
2*(1+q+q^{2})=7*q
2 + 2q + 2q^{2} = 7q
2q^{2} + 2q - 7q + 2 = 0
2q^{2} - 5q + 2 = 0

D = b^{2} - 4*a*c
D = (-5)^{2}-4*2*2
D = 25 - 16
D = 9

q = (- b +- \sqrt{D})/(2a)
q = (-(-5) +- \sqrt{9})/(2*2)
q = (5 +- 3) / 4

q' = (5 + 3) / 4
q' = 8/4
q' = 2

No caso, só uma razão já basta, pois a outra (q'') seria o inverso de q (q'' = 1/2), o que resultaria em uma P.G com os mesmos números, mas invertida. Como o que importa são os números e não a ordem deles, vamos considerar q = 2

a_{1}*q=30
a_{1}*2=30
a_{1}=30/2
a_{1}=15

a_{1} = 15
a_{2} = a_{1}*q = 30
a_{3} = a_{2}*q => 30*2 => 60
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