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A melhor resposta!
2013-10-28T17:20:50-02:00
Vamos lá. 

Se os três lados estão em PA e a razão é 4, então podemos chamar os três lados assim, veja: 

a1 = x-4
a2 = x 
a3 = x+4. <-----Veja: se o triângulo é retângulo, então o maior lado é a hipotenusa (x+4).

Conforme Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado, ou seja: 

(x+4)² = (x-4)² + x² 
x² + 8x + 16 = x² - 8x + 16 + x² 
x² + 8x + 16 = 2x² - 8x + 16 ----passando todo o 1º membro para o 2º, temos: 
0 =2x² - 8x + 16 - x² - 8x - 16 
0 = x² - 16x , ou
x² - 16x = 0 -------colocando "x" em evidência, temos: 

x*(x - 16) = 0 ------daqui você conclui que: 

x = 0 ---------> x' = 0 
x - 16 = 0 -----> x'' = 16

Veja que para x = 0 NÃO SATISFAZ, porque assim teríamos um lado igual a zero, e isso não pode. 
Assim, tomaremos a raiz igual a 16, ficando: 

1º lado = x-4 ----> 16-4 = 12 ----------> 12
2º lado = x = 16 -------------------------> 16
3º lado = x+4 = 16+4 = 20 ------------> 20

Logo, o perímetro, que é igual à soma dos três lados, será: 

12 + 16 + 20 = 48cm <------Pronto. Essa é a resposta. 

Veja que não utilizamos a informação relativa à área porque os dados de que dispúnhamos já eram suficientes para calcular os três lados sem utilizar a área do triângulo. Apenas por curiosidade, veja que a área do triãngulo é realmente 96cm². Observe: 12*16/2 = 192/2 = 96cm².
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2013-10-28T17:24:50-02:00

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Se os lados estão em PA de razão 4, podemos escrever estes lados como:

x - 4             x            x + 4

Pelo Teorema de Pitágoras:

(x+4)^2=(x-4)^2+x^2  \\&#10;\\&#10;x^2+8x+16=x^2-8x+16+x^2  \\&#10;\\&#10;x^2-16x=0 \\&#10;\\&#10;x(x-16)=0  \\&#10;\\&#10;\boxed{x=16}&#10;&#10;

Logo a hipotenusa mede 16+4=20
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