Um certo bem de consumo tem custo fixo de produção igual a R$ 9.000,00 e custo unitário (variável) de R$ 15,00. A sua curva (função) de demanda é dada por p = 280 – q, onde q é a quantidade demandada e produzida (com variação de 0 a 150) e p é o preço unitário de venda. Considere q em toneladas (ton).
a) Obtenha a função lucro total dessa utilidade e esboce seu gráfico.
b) Determine (utilizando derivada), qual é a quantidade q que determina lucro máximo.

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Respostas

2013-04-07T13:03:07-03:00

a) Lucro Total = Receita Total - Custo Total
Receita Total = Preço Unitário (p) x Quantidade Vendida (q)
Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável
Cálculo da receita: Receita Total = p x q = (280 - q) x q = 280q - q² <<<<<<<<
Cálculo de custo: Custo Fixo = 9.000,00

 Custo variável = custo unitário x quantidade produzida = 15(q)

 Custo Total = 9.000,00 + 15(q) <<<<<<<<<
a) A função lucro:

 Lucro Total = Receita Total - Custo Total

 Lucro Total = (280q - q²) - (9.000,00 + 15q)

 Lucro Total = 265q - q² - 9.000,00  <<<<<<<<<<<<
Agora fica fácil construir o gráfico. Coloque o lucro total no eixo y e a quantidade (q) no eixo x. Vá dando valores para (q) e calcule, pela função, o valor correspondente do lucro total.
b) Lucro Máximo:
d (lucro total)......d (265q - q² - 9.000,00)

 ------------------ = --------------------------------

         d (q).........................d (q)
Para encontrar o lucro máximo, derive e iguale a 1ª derivada a zero.

 A derivada = 265 - 2q
Iguale a derivada a zero: 265 - 2q  = 0

q = 265/2 = 132,5 >>>> precisa ser inteiro

 q = 132.
Lucro máximo ocorre para q = 132 toneladas.
Obs.: está dentro do limite estipulado: 0 < q < 150