Respostas

2013-11-03T16:59:55-02:00
Tem duas formas de resolver esse limite. Vou mostrar os dois :D

1ª Forma: Usando transformações trigonométricas.
Tem uma fórmula que diz o seguinte:

sena - senb = 2sen(\frac{a-b}{2}).cos(\frac{a+b}{2})

Fazendo a=x e b=\pi temos:

\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{2sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+\pi}{2})}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+ \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}

Dividindo em dois limites temos:

\lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}. \lim\limits_{x \to \pi} cos(\frac{x+ \pi}{2})

Fazendo \frac{x- \pi}{2}= \alpha temos que, quando x \to \pi , \ \alpha \to 0. Daí:

\lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{sen \alpha}{\alpha}. cos(\frac{\pi + \pi}{2}) = 1.cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}

2ª Forma: Definição de derivada
A definição da derivada de uma função f num ponto a é a seguinte:

f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}

Ora, sendo (senx)' = cosx e a = \pi temos que:

\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}
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muito bom! sensacional
Por nada! :D
ah, a segunda forma lembra l'Hospital, mas num é não :P