1ª log na base x (4x-3)= log na base x (x-1) 2ª log na base 3 (x+3) + log na base 3 (2x-9)= log na base 3 8 3ª log na base 1/3 (x+1) + log na base 1/3 (x-5)= log na base 1/3 (2x-3) 4ª log na base 2 (2x-1) - log na base 2 (x+2)= log na base 2 (4x+1) - log na base 2 (x+10)

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Respostas

2013-11-06T00:36:04-02:00

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LOGARITMOS

Equações Logarítmicas 1° e 2° tipos

a)
Log _{x}(4x-3)=Log _{x}(x-1)

Impondo a condição de existência, para a base e para o logaritmando, temos que:

base x>0  e  x \neq 1 

Logaritmando 4x-3>0 .:. 4x>3 .:. x> \frac{3}{4}

                     (x-1)>0 .:. x>1

Resolução:

Como os logaritmos acima estão em uma mesma base, base x, podemos eliminar as bases e realizar as operações:

4x-3=x-1

4x-x=-1+3

3x=2

x= \frac{2}{3}

Vemos portanto que x não atende a condição de existência, logo:


Solução: {  } conjunto vazio


b) Log _{3}(x+3)+Log _{3}(2x-9)=Log _{3}8

Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0:

(x+3)>0 .:. x>-3

(2x-9)>0 .:. 2x>9 .:. x> \frac{9}{2}

Como os logaritmos encontram-se na mesma base podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto)

Log _{b}a+Log _{b}c=Log _{b}a*Log _{b}c

(x+3)(2x-9)=8

 2x^{2}-9x+6x-27=8

2 x^{2} -3x-27-8=0

2 x^{2} -3x-35=0

Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes x'= -\frac{7}{2}

x"=5

Vemos que pela condição de existência somente a 2a raiz satisfaz, portanto:


Solução: {5}


c) Log _{ \frac{1}{3} }(x+1)+Log _{ \frac{1}{3} }(x+5)=Log  _{ \frac{1}{3} }(2x-3)

Verificando a C.E., para o logaritmando x > 0, temos:

(x+1)>0 .:. x>-1

(x-5)>0 .:. x>5

(2x-3)>0 .:. 2x>3 .:. x> \frac{2}{3}

Novamente vimos que os logaritmos estão em uma mesma base, base 1/3, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:

(x+1)(x-5)=2x-3

 x^{2} -5x+x-5=2x+3

 x^{2} -4x-5-2x-3=0

 x^{2} -6x-8=0

Por Báskara encontramos as raízes x=3 \frac{+}{}2 \sqrt{17}

O que pela condição de existência somente a 1a raiz satisfaz.


Solução: {3+2 \sqrt{17} }



d) Log _{2}(2x-1)-Log _{2}(x+2)=Log _{2}(4x+1)-Log _{2}(x+10)

Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0, vem:

2x-1>0         x+2>0      4x+1>0        x+10>0
2x>1            x> -2         4x> -1          x> -10
x>1/2                           x> -1/4


Se as bases são iguais, base 2, podemos elimina-las e aplicarmos a p2, propriedade do quociente:

Log _{b} a-Log _{b}c=Log _{b} \frac{a}{c}

 \frac{(2x-1)}{(x+2)} = \frac{(4x+1)}{(x+10)}

(2x-1)(x+10)=(x+2)(4x+1)

2 x^{2} +20x-x-10=4 x^{2} +x+8x+2

-2 x^{2} +10x-12=0 : (-2), temos:

 x^{2} -5x+6=0

Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes x'=2 e x"=3

O que pela condição de existência as duas raízes satisfazem.


Solução: {2, 3}
2 3 2