Por favor ajudem estou desesperada 1Sendo log2=0,3 log3=0,4 e log5=0,7 calcule: a)log 9 2 b) log 5 3 c)log6 152 Efetue o produto log 3 2.log2 5.log5 3
3 Solucione as equações
a)log 5 x+log25 x =3 b) log2 x +log4 x +log2 x =7
c) log4 x +log8 x -log 2 x =-1

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Respostas

2013-11-12T21:41:11-02:00

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LOGARITMOS

Propriedades Operatórias

Aplicando as propriedades operatórias, p1, p2 e p3 e a mudança de base,

p1(produto)(Log _{a} b*c=Log _{a}b+Log _{a}c)

p2(quociente)(Log _{a} \frac{b}{c}=Log _{a}b-Log _{a}c)

p3(potencia)(Log _{b}c ^{a}=a*Log _{b}c)   e a p4 (mudança de base)

Log _{c}b= \frac{Logb}{Logc}  , vem:


1. Dados Log2=0,3; Log3=0,4 e Log5=0,7, calcule:

a) Log _{9}2= \frac{Log2}{Log9}= \frac{Log2}{Log3 ^{2} }= \frac{Log2}{2*Log3}

Substituindo os valores de log, vem:

Log _{9}2= \frac{0,3}{2*0,4}= \frac{0,3}{0,8}=0,375


b) Log _{5}3= \frac{Log3}{Log5}= \frac{0,4}{0,7}=0,57


c) Log _{6}15= \frac{Log15}{Log6}= \frac{Log3*Log5}{Log2*Log3}= \frac{Log3+Log5}{Log2+Log3}

 Log _{6}15= \frac{0,4+0,7}{0,3+0,4} = \frac{1,1}{0,7}=1,57

2.Log _{3} 2*Log _{2}5*Log _{5}3

= (\frac{Log2}{Log3})+(\frac{Log5}{Log2})+(  \frac{Log3}{Log5})

=( \frac{0,3}{0,4})+( \frac{0,7}{0,3})+( \frac{0,4}{0,7})=0,75+2,3+0,57=3,62


3. Solucione as equações:

a) Log _{5}x+Log _{25}x=3

A incógnita encontra-se no logaritmando, então devemos ter x > 0, esta é a condição para que log exista:

Como os logaritmos estão em bases diferentes, bases 5 e 25, podemos aplicar a propriedade 4 dos logaritmos (mudança de base):

Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{Log _{5}25 }=3

Aplicando a definição de log, Log _{5}25=2 , temos:

Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{2}=3

2*Log _{5}x+Log _{5}x=3*2

3Log _{5}x=6

Log _{5}x= \frac{6}{3}

Log _{5}x=2

Pela definição de log, vem:

x=5 ^{2}

x=25

Vemos que x satisfaz a condição de existência, logo:


S={25}



b) Log _{2}x+Log _{4}x+Log _{2}x=7

Aplicando a P.M.B, vem:

2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }=7

2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{2}=7

2*2Log _{2}x+Log _{2}x=7*2

4Log _{2}x+Log _{2}x=14

5Log _{2}x=14

Log _{2}x= \frac{14}{5}

Pela definição, vem:

x=2 ^{ \frac{14}{5} }= \sqrt[5]{2 ^{14} }= \sqrt[5]{16384}

Logo x atende a condição de existência.


S={ \sqrt[5]{16384} }



c) Log _{4}x+Log _{8}x-Log _{2}x=-1

 \frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}8 }-Log _{2}x=-1

 \frac{Log _{2}x }{2}+ \frac{Log _{2}x }{3}-Log _{2}x=-1

 \frac{3*Log _{2}x+2*Log _{2}x-6*Log _{2}x   }{6}= -\frac{1}{6}

-Log _{2}x=-1

Log _{2}x=1

x=2 ^{1}

x=2

S={2}
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