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2013-04-09T23:56:59-03:00

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Olá, rareirin.

 

O ponto de intersecção entre as duas curvas é x=\frac{\pi}4,   pois   \sin\frac\pi{4}=\cos\frac\pi{4}=\frac{\sqrt2}2

 

Como se pode observar no gráfico das duas funções, em anexo, no intervalo   [0,\frac\pi{4}],   \cos x \geq \sin x   e no intervalo   [\frac\pi{4},\frac\pi{2}],   \sin x \geq \cos x   .

 

A área entre as curvas, portanto, é a integral da diferença entre a função de maior valor e a de menor valor nos intervalos   [0,\frac\pi{4}]   e   [\frac\pi{4},\frac\pi{2}]   .

 

Portanto:

 

\'Area=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 {(\cos x-\sin x)}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {(\sin x - \cos x)} \, dx=

 

=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 \cos x\, dx-\int\limits^\frac{\pi}{4}_0\sin x}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} \sin x - \int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}\cos x \, dx=

 

=\sin x|^\frac{\pi}{4}_0-(-\cos x|^\frac{\pi}{4}_0)+(-\cos x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4})-\sin x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}=

 

=\sin\frac{\pi}{4}-\sin0-[-\cos\frac{\pi}{4}-(-\cos0)]+[-\cos\frac{\pi}{2}-(-\cos\frac{\pi}{4})]-\\(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4})=\\\\ =\frac{\sqrt2}2-0-[-\frac{\sqrt2}2-(-1)]+[-0-(-\frac{\sqrt2}2)]-(1-\frac{\sqrt2}2)=\\\\ =\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2=\\\\ =4\frac{\sqrt2}2-2=2\sqrt2-2\\\\ \therefore \boxed{\'Area=2(\sqrt2-1)}

 

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