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2013-11-13T21:15:36-02:00
Este é um caso que devemos fazer a transformação de um radical duplo (ou radical biquadrático) em uma soma de dois radicais simples assim:

I) \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}

Onde C=\sqrt{A^2-B}.

Temos que:

A=10 e
B=10

Onde (\sqrt{10\pm\sqrt{10}}) 

Primeiramente vamos calcular o valor de C. Assim:

C=\sqrt{A^2-B}

C=\sqrt{10^2-10}

C=\sqrt{100-10}

C=\sqrt{90}

C=\sqrt{9.10}

C=\sqrt{3^2.10}

C=3\sqrt{10}

Agora teremos:

\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}

\sqrt{10\pm\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}\pm\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}}

Voltando para o questão teremos:

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=
(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})

Depois da transformação temos um produto notável, que é o produto da soma pela diferença, que se resolve assim:

(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2

Então fazemos:

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=
(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}})^2-(\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})^2

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}}{2}-\frac{10-3\sqrt{10}}{2}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-(10-3\sqrt{10})}{2}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-10+3\sqrt{10}}{2}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{3\sqrt{10}+3\sqrt{10}}{2}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{2\cdot 3\sqrt{10}}{2}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{1\cdot 3\sqrt{10}}{1}

(\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=3\sqrt{10} 
1 5 1
Então aquela primeira conta seria a formula do radical duplo ?
Sim a fórmula I) é para calcular o radical duplo. Se quiser saber como ela foi encontrada procure no google por "transformacao de radical duplo em um soma de radicais simples"
As expressões que estavam muito grande coloque em duas linhas para facilitar a visualização.
ok, muito obrigada :))