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2013-11-19T23:16:09-02:00

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Os binomiais do Triângulo de Pascal para n=5 são 1, 5, 10, 10, 5, 1

Sabe-se que os expoentes de x^2 diminuem de 5 até zero enquanto que a de 1 aumente de 0 até 5:

(x^2 + 1)^5=x^{10}+5 x^8+10 x^6+10 x^4+5 x^2+1


2 4 2
2013-11-19T23:52:59-02:00

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(a+b)^n é igual a soma de todos os termos gerais \binom{n}{p}.a^{n-p}.b^{p}

Substituindo os dados, temos que:

(x^2+1)^n=\binom{5}{0}.(x^2)^{5}.1^{0}+\binom{5}{1}.(x^2)^{4}.1^{1}+\binom{5}{2}.(x^2)^{3}.1^{2}+\binom{5}{3}.(x^2)^{2}.1^{3}+\binom{5}{4}.(x^2)^{1}.1^{4}+\binom{5}{5}.(x^2)^{0}.1^{5}

E isso é igual a 

x^{10}+5x^8+10x^6+10x^4+5x^2+1

Lembrando que 0!=1, qualquer coisa elevada a zero dá 1, e que 

\binom{n}{p}=\frac{n!}{(n-p)!p!}

É a mesma coisa que o Revrui fez, só que passo a passo! Prefiro fazer assim pra não me perder no meio do caminho.

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