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2013-04-15T11:35:44-03:00

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Gab,

 

\text{(a) Vamos procurar um conjunto gerador para }\mathbb{V}.

 

\text{Inicialmente, podemos verificar que, }\forall v \in V,\text{temos que } v=Ax,\text{onde: }

 

A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \text{ e }x=\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right]

 

\text{Tomemos }\mathbb{V}'=\{\text{colunas de A}\}=\{(3,2,-2),(4,-4,-4),(-4,-6,2)\}

 

\text{Para que }\mathbb{V}' \text{ seja um conjunto gerador de }\mathbb{V}, \text{ devem existir }\\ \lambda_1,\lambda_2 \text{ e }\lambda_3, \lambda_i \text{ n\~ao todos nulos}, \text{ tais que }\\ \lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=v, \forall v \in \mathbb{V} \Rightarrow

 

(3\lambda_1,2\lambda_1,-2\lambda_1)+(4\lambda_2,-4\lambda_2,-4\lambda_2)+(-4\lambda_3,-6\lambda_3,2\lambda_3)=\\ (3\lambda_1+4\lambda_2-4\lambda_3,2\lambda_1-4\lambda_2-6\lambda_3,-2\lambda_1-4\lambda_2+2\lambda_3)=

 

\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right]

 

\therefore \lambda_1=a,\lambda_2=b \text{ e }\lambda_3=c \text{ satisfazem a igualdade}

 

\Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e um conjunto gerador de }\mathbb{V}

 

 

 

\text{(b) Para que }\mathbb{V}' \text{ seja uma base para }\mathbb{V},

\text{os elementos de }\mathbb{V}' \text{ devem ser linearmente independentes (LI),}

\text{ou seja:}

 

\text{se }\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow \\ \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0

 

\text{Vejamos se tal condi\c{c}\~ao se verifica:}

 

\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow

 

\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=0

 

\text{Como det}\left(\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\right)=0 \Rightarrow

 

\text{O sistema acima n\~ao possui solu\c{c}\~ao} \Rightarrow \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0

 

 \Rightarrow \text{os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI}

 

\therefore \text{Como }\mathbb{V}' \text{ gera }\mathbb{V} \text{ e os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI} \\\\ \Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e uma base para }\mathbb{V}

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