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  • Usuário do Brainly
2013-12-09T15:59:32-02:00
O método da integração por partes é a versão da integração da regra do produto para a diferenciação. Fazemos:  \int\limits^a_b {4x e^{2x} } \, dx = \int\limits^a_b {u} \, dv = uv- \int\limits^a_b {v} \, du  .

O objetivo principal da integração por partes é escolher u e dv  para obter uma nova integral que é mais fácil de calcular do que a original. Em geral, não há regras imediatas e precisas para isso; é uma questão de experiência, que provém de muita prática.
Fazendo: u = 4x e dv = e^{2x}dx e derivando u para obter du e integrando dv para obter v, temos:
se u=4x então du=4dx
se dv= e^{2x}dx temos:  \int\limits^a_b {1} \, dv= \int\limits^a_b { e^{2x} x} \, dx  que é uma integral por substituição simples que dá v =  \frac{1}{2}  e^{2x} . Logo a integral dada fica assim:
4x. \frac{1}{2}  e^{2x} - \int\limits^a_b { \frac{1}{2}  e^{2x}. 4} \, dx
que simplificando fica:
2x e^{2x} -2 \int\limits^a_b { e^{2x} } \, dx
e resolvendo a última integral (repetida) fica assim:
2x e^{2x}-2. \frac{1}{2} . e^{2x}  +c
2x e^{2x} - e^{2x} +c = e^{2x} (2x-1)+c



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