Questão ENEM nível moderado fácil...

Em uma P.G. infinita de termo geral

a_n=a_1*q^{n-1}

Prove que a soma de todos os seus termos é:

S_n=\frac{a_1*(1-q^n)}{(1-q)}

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I know
Meu professor já havia demonstrado essa fórmula, eu lembrei um pouco da demonstração dele
E essa fórmula não tem vários métodos pra se demonstrar, creio que só esse mesmo
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Respostas

2013-12-15T03:43:00-02:00

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S_{n} =a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}

Colocando todos os termos em função de a1 e q:

S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)}

Multiplicando a equação por q, temos:

q*S_{n}=q*[a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)}]
q*S_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} + a_{1}q^{n}
________________________

 \left \{ {{S_{n} = a_{1} + a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} \atop {q*S_{n} = a_{1}q + a_{1}q^{2} + ... + a_{1}q^{(n-1)} + a_{1}q^{n}}} \right.

Subtraindo uma pela outra:

S_{n} - q*S_{n} = a_{1} - a_{1}q^{n}

Colocando os termos semelhantes em evidência:

S_{n}(1 - q) = a_{1}(1 - q^{n})
S_{n}=a_{1}(1 - q^{n}) / (1 - q)
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