Calcule a área a região, limitada pelo gráfico da função y = g(x) = 1+Raiz de x, e o eixo dos x, entre os limites x=1 e x=4.

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Olá, Eferreiralima!
Acabei de concluir o ensino médio, mas tentarei resolver isso:
Primeiro devemos achar a integrada da função:
f(x)=1+\sqrt{x}
\int({1+\sqrt{x})\,dx
\int({1+\sqrt{x})\,dx=\int(1)\,dx+\int(\sqrt{x})\,dx

\int(1)\,dx=x
\int(\sqrt{x})\,dx=\int(x^{0.5})\,dx=\frac{x^{1.5}}{1.5}+C

\int({1+\sqrt{x})\,dx = x + \frac{x^{1.5}}{1.5} + C

A área entre 1 e 4 se dá pela integrada definida:

 \int\limits^4_1{x}\,dx=F(4)-F(1)=
(4 + \frac{4^{1.5}}{1.5})-(1 + \frac{1^{1.5}}{1.5})
(4 + \frac{8}{1.5})-(1 + \frac{1}{1.5})
\frac{6}{1.5}+\frac{8}{1.5}-\frac{1.5}{1.5}-\frac{1}{1.5}
\frac{11.5}{1.5}

A área é aproximadamente 7.66 então.

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