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2013-04-21T22:53:45-03:00

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A solução está escrita na imagem em anexo!!!

Na solução deste problema será usado a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo (A+B+C=180º) e também dois casos de congruência de triângulos (ALA, LAL) que são fundamentais na finalização do problema!!!   aqcompanhe no anexo

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2013-04-21T22:55:58-03:00

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Olá, StorClaudio.

 

No desenho em anexo, estão demonstradas as construções geométricas constantes do enunciado do exercício.

 

\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow 40\º+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=140\º\ (i)

 

Como  \triangle ABC  é isósceles  \Rightarrow \hat{B}=\hat{C}

 

Substituindo em (i), temos:

 

\hat{B}+\hat{B}=\hat{C}+\hat{C}=140\º \Rightarrow 2\hat{B}=2\hat{C}=140\º \Rightarrow \hat{B}=\hat{C}=70\º \Rightarrow

 

\begin{cases} \hat{EBD}+\hat{CBD}=70\º \Rightarrow \hat{EBD}+35\º=70\º \Rightarrow \hat{EBD}=35\º \\ \hat{BCE}+\hat{BCD}=70\º \Rightarrow \hat{BCE}+15\º=70\º \Rightarrow \hat{BCE}=55\º \end{cases}

 

No  \triangle BFC  temos:

 

\hat{BFC}+\hat{FCB}+\hat{CBF}=180\º \Rightarrow \hat{BFC}+55\º+35\º=180\º \Rightarrow \\ \hat{BFC}=90\º \Rightarrow \hat{EFB}=\hat{EFD}=\hat{CFD}=90\º \text{ (complementares e} \\ \text{opostos pelo v\'ertice)}

 

No  \triangle BFE  temos:

 

\hat{EBF}+\hat{BFE}+\hat{FEB}=180\º \Rightarrow 35\º+90\º+\hat{FEB}=180\º \\ \Rightarrow \hat{FEB}=55\º

 

Os triângulos  \triangle BDE \text{ e } \triangle BDC  possuem um lado igual em comum  (\overline{BFD})  e dois ângulos iguais  (\hat{EBD}=\hat{CBD}=35\º \text{ e } \hat{BEF}=\hat{BCF}=55\º).

 

Pelo critério LAA (lado, ângulo, ângulo), são, portanto, congruentes   \Rightarrow \overline{EF}=\overline{FC}

 

Isto implica que os triângulos  \triangle DFE \text{ e } \triangle DFC  também são congruentes, pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), pois possuem dois lados iguais  (\overline{EF}=\overline{FC} \text{ e }

\overline{DF} \text{, este em comum})  e um ângulo igual  (\hat{DFE}=\hat{DFC}=90\º).

 

Portanto, como  \triangle DFE \text{ e } \triangle DFC  são congruentes, temos que

\hat{FED}=\hat{DCF}=15\º

 

Finalmente:

 

\hat{FED} + \hat{EFD} + \hat{EDF} = 180\º \Rightarrow

15\º+90\º+\hat{EDF}=180\º \Rightarrow \hat{EDF}=75\º

 

\therefore \boxed{\hat{EDB}=\hat{EDF}=75\º}

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