As populações de duas cidades,A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções

A(t) = log8 (1 + t)6 e B(t) = log2 (4t + 4),

onde a variável t representa o tempo em anos.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t=1 e t=7?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante.

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Respostas

2013-12-28T21:16:39-02:00
A) Para fazer a letra 'A' é simples. Basta aplicar o conceito básico de logaritmo. Acompanhando o raciocínio da pra entender a questão! Vamos lá!

A(1) = log 8(1+1).6

A(1) = 6.log 8(2)

A(1) = 6. \frac{log2}{log8}

A(1) = 6. \frac{log2}{log 2^{3} }

A(1) =  \frac{6.log2}{3.log2}

A(1) = 2 --> 2.000 habitantes


A(7) = log 8(1+7).6

A(7) = 6.log 8(8)

A(7) = \frac{6.log8}{log8}

A(7) = 6 --> 6.000 habitantes


B(1) = log 2[4.(1)+4)

B(1) =log 2(4+4)

B(1) =log 2(8)

B(1) = \frac{log8}{log2}

B(1) = \frac{log 2^{3}}{log 2 }

B(1) = \frac{3.log2}{log2}

B(1) = 3 --> 3.000 habitantes


B(7) = log 2[4.(7)+4)

B(7) =log 2(28+4)

B(7) =log 2(32)

B(7) = \frac{log32}{log2}

B(7) = \frac{log 2^{5}}{log 2 }

B(7) = \frac{5.log2}{log2}

B(7) = 5 --> 5.000 habitantes


b) Para descobrir quando a população delas se igualam para que, desta forma, seja possível notar a partir de que data elas irão começar a se distinguir definitivamente. 
Sendo assim, precisamos fazer: A(t) = B(t).
Antes disso, precisamos colocar as duas funções na mesma base para que possamos comparar uma com a outra, pois lembre-se: não se compara banana com maçã, não é mesmo?!

Comecemos pelo A(t)!
A(t) = 6.log_{8}  (1+t)
A(t) = 6.log_{ 2^{3}} (1+t)
A(t) = 6 ( \frac{1}{3}) log_{2} (1+t)
A(t) = 2.log_{2} (1+t)

Agora o B(t)!
B(t)=log_{2}(4t+4)
B(t)=log_{2}[4(t+1)]
B(t)=log_{2}4 + log_{2}t+1
B(t)=2 + log_{2}t+1

Agora podemos fazer a igualdade!
2.log_{2} (1+t)=2 + log_{2}t+1
2.log_{2} (t+1)=2 + log_{2}t+1
log_{2} (1+t)=2

Agora precisamos observar! Qual é o log que na base 2 seja igual a 2?
O 4, correto? Já que log_{2} 4=2

Desta forma, percebemos que 1 + t precisa ser igual a 4. Sendo assim?
1 + t = 4
t = 4 -1
t = 3 anos --> Igual ou acima de 3 anos a população de uma das cidades sempre será maior que a da outra.

Para descobrir, basta analisar as respostas da letra a, pois quando t =7 (maior que 3 anos) a cidade A tem 6.000 habitantes enquanto que a cidade B tem 5.000 habitantes, ou seja, a cidade A sempre terá  a população maior que a cidade B quando o t for igual ou superior a 3 anos.
Caso queira confirmar, bastar aplicar t = 3 na função de cada cidade! Vamos lá!!!

A(3) = log 8(1+3).6

A(3) = 6.log 8(4)

A(3) = 6. \frac{log4}{log8}

A(3) = 6. \frac{log 2^{2}}{log 2^{3} }

A(3) = \frac{12.log2}{3.log2}

A(3) = 4 --> 4.000 habitantes


B(3) = log 2[4.(3)+4)

B(3) =log 2(12+4)

B(3) =log 2(16)

B(3) = \frac{log16}{log2}

B(3) = \frac{log 2^{4}}{log 2 }

B(3) = \frac{4.log2}{log2}

B(3) = 4 --> 4.000 habitantes

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2013-12-28T21:21:11-02:00

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1) Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t=1 e t=7? 

A(1)=log_8(1+1)^6  \\
A(1)=log_8(2^6)  \\
A(1)=log_864 \\
\boxed{A(1)=8}  \\
\\
A(7)=log_8(1+7)^6 \\
A(7)=log_88^6  \\
A(7)=8.log_88 \\ {A(7)=8.1  \\ \boxed{A(7)=8}

B(1)=log_2(4.1+4)  \\
B(1)=log_28 \\
\boxed{B(1)=3}  \\
\\
B(7)=log_2(4.7+4) \\
B(7)=log_232 \\
\boxed{B(7)=5}

b) Após certo instante t, a população de uma dessas cidades é sempre maior que a da outra. Determine o valor mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja população é maior a partir desse instante. 

2)

log_8(1+t)^6=log_2(4t+4) \\
6log_8(1+t)=log_24(1+t)  \\
6.\frac{log_2(1+t)}{log_28}=log_24+log(1+t)  \\
6.\frac{log_2(1+t)}{3}=2+log_2(1+t)  \\
2log_2(1+t)=2+log_2(1+t) \\
\\
y=log_2(1+t) \\
\\
2y=2+y \\
\\
2y-y=2 \\
\\
y=2  \\


log_2(1+t)=2 \\
1+t=4 \\
\boxed{t=3}

A partir de tempo t = 3 a função A se torna maior do que a função B
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