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2014-01-09T01:45:11-02:00

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Olá, Iaracruz.

Se uma função qualquer tem derivada limitada em \mathbb{R}, então, pelo Teorema de Lagrange, esta função é uma função de Lipschitz. Isto implica que ela é uniformemente contínua em \mathbb{R}.

Resumindo o teorema acima:

\boxed{\text{A derivada da fun\c{c}\~ao \'e limitada}}\Rightarrow\boxed{\text{a fun\c{c}\~ao \'e Lipschitz}}\Rightarrow\\\\ \boxed{\text{a fun\c{c}\~ao \'e uniformemente cont\'inua}}

\begin{cases}f(x)=x\Rightarrow f'(x)=1\\g(x)=\sin x\Rightarrow g'(x)=\cos x \leq 1,\forall x\in\mathbb{R}\end{cases}

Como as derivadas das funções f(x) e g(x) são limitadas, então, pelo teorema, f(x) e g(x) são uniformemente contínuas.

Por outro lado:

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\underbrace{\sin x}_{ \leq 1}+\underbrace{x\cos x}_{<+\infty}<+\infty

Como a derivada de f(x)g(x) não é limitada, então f(x)g(x) não é uniformemente contínua.
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Obrigada!valeu
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