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2014-01-10T20:36:54-02:00

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Olá, Adriana.

(\frac{2}{10})^{2x}=[(\frac{2}{10})^2]^{x}=(\frac{2^2}{10^2})^{x}=\frac{4^x}{10^{2x}}

Se o número possui 20 casas decimais, então x pode ser igual a 10, pois {10^{2x}}=10^{20} é um número composto pelo 1 e mais 20 zeros. Qualquer número não terminado em zero, quando dividido por 1 e mais 20 zeros, deve possuir 20 casas depois da vírgula, decorrente de 20 deslocamentos da vírgula para a esquerda.

Neste caso, o número (\frac{2}{10})^{2x} é igual a \frac{4^{10}}{10^{20}}.

Para confirmarmos que x = 10, devemos demonstrar que 4^{10} não termina em zero, de tal forma que, quando dividirmos por 10^{20}, este número tenha 20 casas depois da vírgula.

4^2=4 \times 4 = 16\\
4^3=16  \times  4 = 64\\
4^4=64  \times  4 = 256\\
4^5=256  \times  4 = 1024, etc.

Se o expoente de 4 for par, o número termina em 6.
Se o expoente de 4 for ímpar, o número termina em 4.

Ou seja, o número 4^{10} é um número terminado em 6 e, portanto, quando dividido por 10^{20}, fica com 20 casas depois da vírgula.

\therefore\boxed{x=10}}


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