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2014-01-15T00:50:50-02:00

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Olá, Danielatd.

9) Primeira derivada:

f'(x) = 3x^2 + 2\cdot6x = 3x^2 + 12x

Para sabermos onde a curva é crescente ou decrescente, devemos estudar o sinal da parábola acima.

Os zeros desta parábola são:

3x^2 + 12x = 0 \Leftrightarrow 3x(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=-4

A parábola possui concavidade voltada para cima, uma vez que o coeficiente de x² é positivo (igual a 3).

Portanto, quando x está entre as raízes da parábola, -4 e 0, os valores da parábola são negativos, ou seja, a derivada f'(x) é negativa. Quando x está à esquerda do 
-4 (x < -4) ou à direita do 0 (x > 0), a parábola assume valores positivos, ou seja, a derivada f'(x) é positiva.

No intervalo onde f'(x)>0, a curva é crescente. No intervalo onde f'(x)<0, a curva é decrescente.

Assim:

Se x < -4\text{ ou }x > 0: a curva é crescente
Se -4 < x < 0: a curva é decrescente

Nos pontos onde a derivada se anula (x=-4 ou x=0), a curva alterna o seu sentido, podendo ser um mínimo ou um máximo local, a depender do sinal da segunda derivada no ponto.


10) Segunda derivada:

f"(x) = 2\cdot3x+12=6x+12

O ponto de inflexão da curva é o ponto onde a segunda derivada se anula, ou seja:

f"(x)=0\Leftrightarrow 6x+12=0\Leftrightarrow 6x=-12\Leftrightarrow x=-2