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2014-01-26T15:48:05-02:00

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Olá, Fabiana.

A letra "a" já foi solucionada em http://brainly.com.br/tarefa/272724.

Vamos à solução da letra "b".

\lim\limits_{x\to0}\left(\frac1 x - \frac1{e^x-1}\right)=\\\\
=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}=\\\\
=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x}

Como \frac{e^0-1-0}{0\cdot e^0-0}=\frac{1-1-0}{0\cdot1-0}=\frac00, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Assim:

\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{xe^x-x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x-1-x)'}{(xe^x-x)'}=\\\\
=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}

Este limite resulta em \frac00 novamente. Portanto, devemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente:

\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{e^x+xe^x-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(e^x-1)'}{(e^x+xe^x-1)'}=\\\\
=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x}{e^x+e^x+xe^x}=\\\\
=\frac{1}{1+1+0}=\\\\
=\boxed{\frac12}

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