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2014-01-30T23:40:44-02:00

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Olá, Rubens.

Para que formem uma base de \mathbb{R}^2, os vetores (1,1) e (-1,0) devem:

1) ser linearmente independentes;

2) gerar \mathbb{R}^2.

Devemos demonstrar, portanto, que os vetores mencionados atendem estas duas condições.

Para que sejam linearmente independentes, os vetores devem satisfazer a seguinte condição:

\lambda_1(1,1) + \lambda_2 (-1,0)=0\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=0

Verifiquemos:

\lambda_1(1,1) + \lambda_2 (-1,0)=(0,0)\Rightarrow\begin{cases}\lambda_1-\lambda_2=0\\\lambda_1=0\end{cases}\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2=0

Os vetores (1,1) e (-1,0) são, portanto, linearmente independentes (condição 1 atendida).

Vejamos, agora, se os vetores geram \mathbb{R}^2.

Dizer que os vetores (1,1) e (-1,0) geram \mathbb{R}^2 significa dizer que, para quaisquer vetores (x,y)\in\mathbb{R}^2(x,y) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,1) e (-1,0), ou seja, devemos demonstrar que, para quaisquer vetores (x,y)\in\mathbb{R}^2, existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que:

(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)

Verifiquemos:

(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)\Rightarrow\begin{cases}x= \alpha - \beta \\y= \alpha \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x= y - \beta \\\alpha=y\end{cases}\Rightarrow\\\\
\begin{cases}\alpha=y\\\beta=y-x \\\end{cases}

Fica demonstrado acima, portanto, que, para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2, existem escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que:

(x,y)= \alpha (1,1)+ \beta (-1,0)

Basta tomarmos \alpha=y\beta=y-x.

Conclusão: como os vetores (1,1) e (-1,0) atendem as duas condições, isto é, são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2, então podemos dizer que (1,1) e (-1,0) formam uma base para \mathbb{R}^2.

Como esta base é formada por dois vetores, então sua dimensão é dois.
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