SISTEMA LINEAR POR ESALONAMENTO

UM NUTRICIONISTA DESEJA PREPARAR UMA REFEIÇAO DIARIA EQUILIBRADA EM VITAMINAS A,B,C. PARA ISSO ELE DISPOE DE 3 TIPOS DE ALIMENTOS X,Y,Z. O ALIMENTO X POSSUI UMA UNIDADE DE VITAMINA A, 10 UNIDADES DE VITAMINA A, 1 UNIDADE DE VITAMINA C. O ALIMENTO Y POSSUI 9 UNIDADES DE VITAMINA A, 1 UNIDADE DE VITAMINA B E 1 UNIDADE DE VITAMINA C. O ALIMENTO Z POSSUI 2 UNIDADES DE VITAMINA A, 2 UNIDADES DE VITAMINA B E 4 UNIDADES DE VITAMINA C. SABENDO QUE PARA UMA ALIMENTACAO DIARIA EQUILIBRADA EM VITAMINA DEVE CONTER 160 UNIDADES DE VITAMINA A, 170 UNIDADES DE VITAMINA B E 140 UNIDADES DE VITAMINA C, QUAIS QUANTIDADES DE ALIMENTOS X , Y, Z, DEVERAO SER UTILIZADOS NA REFEICAO?

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Respostas

2013-04-24T02:10:42-03:00

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Olá, Lanaysa.

 

Sejam  x, y \text{ e } z  as quantidades dos alimentos X, Y e Z.

 

A quantidade de vitamina A em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:

 

Q(A) = x + 9y + 2z

 

A quantidade de vitamina B em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:

 

Q(B) = 10x + y + 2z

 

A quantidade de vitamina C em x unidades do alimento X, y unidades do alimento Y
e z unidades do alimento Z é:

 

Q(C) = x + y + 4z

 

A alimentação ideal deve obedecer as seguintes condições:

 

\begin{cases} Q(A) = 160 \\ Q(B) = 170 \\ Q(C) = 140 \end{cases}

 

 \Rightarrow \begin{cases} x + 9y + 2z = 160 \\ 10x + y + 2z = 170 \\ x + y + 4z = 140 \end{cases}

 

 

Escalonamento:

 

\left[\begin{array}{cccc}1 &9 &2 &160 \\10 &1 &2 &170 \\1 &1 &4 &140\end{array}\right](L_2-10L_1)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90& 20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 1 &1 &4 140 &10 \end{array}\right](L_3-L_1)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90& 20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 0 &-80 &20 &-200\end{array}\right](89L_3 - 80L_2)\\\\\\ \left[\begin{array}{cccc}10 &90 &20 &1600 \\ 0 &-89 &-18 &-1430 \\ 0 &0 &3220 &96600\end{array}\right]

 

 

Solução após o escalonamento:

 

\begin{cases}3220z=96600 \Rightarrow \boxed{z=30} \\\\ -89y-18 \cdot 30=-1430 \Rightarrow 89y = 890 \Rightarrow \boxed{y=10} \\\\ x+y+4z=140 \Rightarrow x+10+120=140 \Rightarrow \boxed{x=10} \end{cases}

 

Portanto, as quantidades de alimentos X, Y e Z são, respectivamente, 10, 10 e 30 unidades.

 

 

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