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2014-02-02T17:24:48-02:00
Olá Fabiana!

Primeiro calcula-se as derivadas de 1ª e 2ª ordem de f(x).

f'(x)=\frac{2x}{x-3}-\frac{x^2}{(x-3)^2}

f''(x)=\frac{2}{x-3}-\frac{4x}{(x-3)^2}+\frac{2x^2}{(x-3)^3}

Para encontrar os valores de máximo e/ou mínimo faz-se:

f'(x)=0
S=\left\lbrace0;6\right\rbrace

Avaliamos a derivada de 2ª ordem no valores de S.

f''(0)=-\frac{2}{3}<0, logo x = 0 é ponto de máximo local.

f''(6)=\frac{2}{3}>0, logo x=6 é ponto de mínimo local.

Assim, os intervalos de crescimento é \left]-\infty;-\frac{2}{3}\right[\left]\frac{2}{3};+\infty\right[. Já o intervalo de decrescimento é \left]-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right[.

As intersecções com os eixos vêm fazendo-se:

f(x)=0
x=0

e

f(0) = 0
 
Logo, o único ponto de intersecção com os eixos é a origem (0;0) do sistema cartesiano.

E porque:

f''(x)=0
x=3

temos que o ponto de inflexão é x=3. Assim, a concavidade é voltada para baixo no intervalo \left]-\infty;3[, e a concavidade voltada para cima \left]3;+\infty[

Não existe assintota horizontal, pois:

 \lim_{n \to +\infty} f(x)=+\infty
 \lim_{n \to -\infty} f(x)=-\infty

A assintota vertical é dada por:

f(x)=0
x=3

E a assíntota oblíqua é dada por m_1x+b_1:

m_1= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}=1

e

b_1= \lim_{n \to \infty} f(x)-x=3

Assim, m_1x+b_1 = x+3 é um assíntota oblíqua.

Abraço,

Douglas Joziel.

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