Calculo diferencial e integral
Uma rede de água potável deve ligar uma caixa de abastecimento situada á margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto BNH situado na outra margem do rio, 2000m abaixo da caixa. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro e na terra é de R$ 312,00 por metro. Qual a forma mais econômica( menos custo) de se instalar a rede de água potável?

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Respostas

2014-02-02T02:29:07-02:00
Olá, Fabiana!

Obrigatoriamente o caminho terá que cortar o rio, assim, temos que achar o percurso que dê um equilíbrio - rio e terra - para tornar mais em conta, isto é, menor custo. O custo C pode ser calculado por:

C=640\cdot\sqrt{x^2+500^2}+312\cdot(2000-x)
C=640\cdot\sqrt{x^2+250000} - 312x + 624000   (1)

Em tempo, o parâmetro x está descrito na figura em anexo, para uma melhor compreensão, visto que explicá-lo aqui é difícil.

Derivando (1) em relação a x, obtemos:

C'=\frac{640x}{\sqrt{x^2+250000}}-312   (2)

De (2), fazemos a expressão igual a zero para encontrar o ponto de mínimo relativo:

\frac{640x}{\sqrt{x^2+250000}}-312=0
x=\frac{19500}{4879}\sqrt{4879}=279,1702929   (3)

Substituindo (3) em (1), vem o custo mínimo:

C=903399,35

Sendo que será feito 1720,83 metros por terra e 572,64 metros por água (rio).

Abraço,

Douglas Joziel.
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