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2014-02-03T00:05:36-02:00

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Olá, Darlany.

f(x) = 3x^4-8x\³+6x\²+2

1) Pontos críticos:

f(x) = 3x^4-8x\³+6x\²+2\Rightarrow\\\\
f'(x)=12x^3-24x^2+12x=12x(x^2-2x+1)=\\\\
=12x(x-1)^2=0\Leftrightarrow \boxed{x=0}\text{ ou }\boxed{x=1}\text{ (pontos cr\'iticos)}

2) Máximos, mínimos e pontos de inflexão:

Para saber se os pontos críticos são mínimos, máximos ou pontos de inflexão, devemos examinar o valor da segunda derivada nestes pontos.

f''(x)=36x^2-48x+12=12(3x^2-4x+1)\Rightarrow\\\\ \begin{cases}f''(0)=12(3\cdot0-4\cdot0+1)=12>0\text{ (m\'inimo local)}\\f''(1)=12(3\cdot1-4\cdot1+1)=0\text{ (ponto de sela)}\end{cases}

Além de x = 1, há ainda um ponto de inflexão em x=\frac13, pois f''(\frac13)=0.

3) Concavidade: na vizinhança do ponto de mínimo, x = 0, a concavidade é para cima, pois a segunda derivada em x = 0 é positiva e assim se mantém até o ponto de inflexão x = \frac13. Entre o ponto de inflexão e o ponto de sela x = 1, a concavidade é voltada para baixo, pois a segunda derivada é negativa em [\frac13;1]. À direita do ponto de sela, a concavidade volta-se para cima e continua para cima até +\infty, pois a segunda derivada é sempre positiva para x > 1.

4) Assíntotas: não possui, pois não existem a,b\in\mathbb{R}, tais que:

\lim\limits_{x \to a^\pm}f(x) = \pm\infty\text{ (ass\'intota vertical)}

\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x) = b\text{ (ass\'intota horizontal)}

5) Gráfico: de posse das informações todas acima, escolhemos um ponto à direita e à esquerda do mínimo e dos pontos de inflexão e unimos estes pontos para obter o gráfico conforme a figura em anexo.