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2013-04-26T16:21:33-03:00

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Gab,

 

Para que um conjunto V seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer as seguintes propriedades:

 

\text{1. Associatividade da soma: }(u+v)+w=u+(v+w), \\ \forall u,v,w \in V\\\\ \text{2. Exist\^encia de elemento neutro: }\exists u \in V\ |\ v+u=v, \forall v \in V\\\\ \text{3. Exist\^encia de elemento sim\'etrico: }\forall v \in V, \exists u\ |\ v+u=0\\\\ \text{4. Comutatividade: }u+v=v+u, \forall u,v \in V

 

\text{5. Associatividade da multiplica\c{c}\~ao por escalar: }\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\\\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \cdot \beta) \cdot v, \forall v \in V\\\\ \text{6. Exist\^encia de elemento identidade: }\exists u \in V\ |\ v \cdot u=v, \forall v \in V

 

\text{7. Distributividade para a adi\c{c}\~ao de elementos: }\\ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall u, v \in V, \alpha (u + v) = \alpha u + \alpha v \\\\ \text{8. Distributividade para a multiplica\c{c}\~ao por escalar: }\\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, (\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v

 

De forma trivial, podemos verificar que V=\mathbb{R} satisfaz todas as condições
acima, uma vez que os números reais satisfazem todas aquelas propriedades.


Em especial, sabemos que:
- o elemento neutro é o zero (propriedade 2);
- o elemento simétrico de  a \in V  é  -a  (propriedade 3);
- o elemento identidade é o 1 (propriedade 6).

 

Note que   V=\mathbb{R} é um espaço vetorial de dimensão 1.


Gab, como o enunciado não pede e isto seria uma decorrência natural, fica como
exercício para você mostrar que qualquer número real é uma base para V=\mathbb{R}.