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  • Usuário do Brainly
2013-01-05T03:40:22-02:00

Seja \text{a} a medida das arestas da pirâmide quadrangular regular em análise.

Conforme o enunciado, temos:

\text{a}\cdot\text{a}=16 \ \text{cm}^2

Donde, obtemos \text{a}=4 \ \text{cm}.

Logo, concluímos que a medida das arestas da pirâmide dada é igual a 4 \text{cm}.

Segundo o enuciado, podemos afirmar que todas as arestas são iguais.

Desse modo, as faces triangulares da pirâmide são triângulos equiláteros, cujos lados medem 4 \ \text{cm}.

Calculemos a altura de uma das faces triangulares, como segue:

A altura de um triângulo equilátero de lado \text{l} é dada por \text{h}=\dfrac{\text{l}\sqrt{3}}{2}.

Contudo, a altura de uma das faces triangulares é \text{h}_1=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \ \text{cm}.

Tracemos o segmento \text{b} com extremidades no vértice da pirâmide e no ponto médio da aresta da base.

É importante ressaltar que, \text{b} é a altura de uma das faces laterais.

Analogamente, tracemos o segmento \text{h} com extremidades no vértice da pirâmide e no centro da base.

Por inspeção, concluímos que \text{h} é a altura da pirâmide quadrangular.

Por fim, tracemos o segmento \text{c} com extremidades em \text{b} e em \text{h}.

A medida de \text{c} é dada por \dfrac{\text{a}}{2}, sendo \text{a} a medida da aresta.

Assim, temos \text{c}=\dfrac{4}{2}=2 \ \text{cm}.

Desta maneira, obtemos um triângulo retângulo, com catetos \text{h}, \text{c} e hipotenusa \text{b}.

Conforme o Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que \text{b}^2=\text{h}^2+\text{c}^2, donde \text{h}=\sqrt{\text{b}^2-\text{c}^2}.

Como \text{b}=2\sqrt{3}~\wedge~\text{c}=2, segue que:

\text{h}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \ \text{cm}

Logo, chegamos à conclusão de que a a altura da pirâmide dada é 2\sqrt{2} \ \text{cm}.

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