Respostas

2013-04-26T23:57:23-03:00

Olá CAmanda,

 

Antes de tudo, é necessário relembrar algumsa propriedades de logaritmo.

I) Log_a c = b \rightarrow a^b = c

II) Log_a b = Log_a c \rightarrow b = c

III) Log_a b = \frac{log_c a}{log_c b}

IV) Log_a b + Log_a c \rightarrow Log_a bc

 

a) Log_4 x + Log_4 (x - 3) = 1

De acordo com a terceira propriedade, mudança de base, iremos levar para base 10 que facilita a resolução de alguns problemas.

 

\frac{Log x + Log (x - 3)}{Log 4} = 1

Pela quarta propriedade:

\frac{Log x(x - 3)}{Log 4} = 1

Vamos passar o Log 4 multiplicando para o segundo lado da equação:

Log x(x - 3) = Log 4

Pela segunda propriedade:

x(x - 3) = 4

x^2 - 3x - 4 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau iremos encontrar duas raízes.

\boxed{x' = -1}

\boxed{x" = 4}

 

Como nos reais (\mathb{R}) não existe logaritmo de número negativo, concluímos que a solução para esse problema é x" = 4. Você também poderia verificar substituindo nas equações e veria que o resultado seria diferente.

 

b) Log (x - 5) + log(2x - 20) = 1 + Log(3x - 35)

Sabe-se que quando o logaritmando e a base são iguais, o resultado é 1. Fazendo o caminho inverso, traremos a equivalência de 1 com base 10 (já que todos os outros estão com base dez, o que fica subentendido quando as bases não são citadas).

 

\therefore 1 = Log_{10} 10

 

Pela propriedade número 4:

Log (x - 5)(2x - 20) = Log 10(3x - 35)

Pela propriedade número 2:

(x - 5)(2x - 20) = 10(3x - 35)

2x^2 - 20x - 10x + 100 = 30x - 350

2x^2 - 30x - 30x + 100 + 350 = 0

2x^2 - 60x + 450 = 0
Simplificando tudo por 2:

x^2 - 30x + 225 = 0

 

Resolvendo essa equação do segundo grau, iremos obter a solução:

\boxed{x = 15} 

 

c) Log_16 {4log_2 [1 + 4log2 x]} = \frac{-1}{2}


CAmanda, você poderia por favor explicar melhor essa alternativa c? Não está claro quem é base, quem é logaritmando, etc. Assim que você explicar (pode ser por mensagem), eu edito minha resposta e completo com a resolução para esta c.

2 5 2