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2014-02-15T12:09:55-02:00

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Olá, Kelly.

\frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} +...+ \frac{2}{3^{n}}=\\\\
=2(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} +...+ \frac{1}{3^{n}})=\\\\
=2\underbrace{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} +...+ \frac{1}{3^{n}}\right)}\\\\
\text{Temos aqui a soma de uma PG de 1.\º termo }a_1=\frac13\text{ e raz\~ao }q=\frac13:\\\\
=2\cdot\frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\\\\=2\cdot\frac{\frac13\cdot[(\frac13)^n-1]}{\frac13-1}=\\\\
=2\cdot\frac{\frac13\cdot[(\frac13)^n-1]}{-\frac23}=

=\not2\cdot(-\frac{\not3}{\not2})\cdot\frac1{\not3}\cdot[(\frac13)^n-1]=\\\\
=(-1)\cdot(3^{-n}-1)=\\\\
=\boxed{1-3^n}\text{ (c.q.d.)}
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