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2014-02-18T11:35:58-03:00

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Olá, Leogs25.

Perímetro:

2x + 2y = 20 \Rightarrow 2(x+y)=20 \Rightarrow\\\\ x+y=10\Rightarrow y=10-x

Maximizar a área do retângulo é o mesmo que maximizar o produto xy, que é igual a:
 
xy=x(10-x)=10x-x^2

Chamemos esta função obtida de f(x).
A derivada de f(x) é dada por:

f'(x) = 10 - 2x

O valor de f(x) é máximo onde sua derivada se anula, pois f(x) é uma parábola com a concavidade para baixo.

Assim:

f'(x)=0\Rightarrow10-2x=0\Rightarrow\,\boxed{x=5} \Rightarrow\\\\5+y=10\Rightarrow\boxed{y=5}

O retângulo de perímetro 20 cm que possui a maior área é, portanto, o quadrado de lados \boxed{x=y=5\,cm}.