Na função f(x) = ax + b, o número a é denominado coeficiente angular de x e o número b é denominado termo constante ou coeficiente linear. Assim, na função CT = 150 + 2x, a = 2 e b = 150. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e determina a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo Oy. Suponha que uma mercadoria seja vendida por R$ 5,00 a unidade e que a função CT = 150 + 2x expressa o custo total de produção. Nesse sentido, a) Estabeleça a fórmula que forneça a receita R(x). (Lembre-se que a receita é o quanto é arrecadado na venda da mercadoria). b) Estabeleça a fórmula que forneça o lucro L em função quantidade de mercadorias vendidas. (lembre-se que o lucro L será o valor recebido na venda de x mercadorias menos o que é gasto para produzí-las, ou seja: lucro = receita – despesas) c) Quantas mercadorias deverão ser produzidas no mês para a indústria obter lucro? d) Determine o ponto de equilíbrio para esta situação (lembre-se o ponto de equilíbrio é fornecido pela expressão R(x)=CT(x)).

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2013-05-01T16:22:38-03:00

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Olá, Cristina.

 

 

a) A função receita R(x) é dada por:

 

R(x)=\underbrace{[\text{quantidade vendida}]}_{=x} \times \underbrace{[\text{pre\c{c}o unit\'ario}]}_{=R\$\ 5,00} \Rightarrow \boxed{R(x)=5x}

 

 

b) O lucro é a diferença entre o que se ganha com as vendas (receitas), R(x), e o que se gastou para produzir as mercadorias vendidas (custo total), CT(x). Assim, a função lucro é dada por:

 

L(x)=R(x)-CT(x)=5x-(150 + 2x) \Rightarrow \boxed{L(x)=3x-150}

 

 

c) Para que a empresa obtenha lucro, devemos ter L(x) > 0:

 

L(x)>0 \Rightarrow 3x-150>0 \Rightarrow 3x>150 \Rightarrow x>\frac{150}3 \Rightarrow \boxed{x>50}

 

Ou seja: para obter lucro, a empresa deverá produzir mais de 50 mercadorias por mês.

 

 

d) O ponto de equilíbrio  x^\star  é tal que  R(x^\star)=CT(x^\star):

 

R(x^\star)=CT(x^\star) \Rightarrow 5x=150 + 2x \Rightarrow 3x^\star=150 \Rightarrow \boxed{x^\star=50}