Respostas

2014-02-19T14:27:09-03:00
Para o primeiro caso tomemos

 x = \sqrt{3}  y = \sqrt{3}  

Pelas igualdades do problema temos:

 f(\sqrt{3} \sqrt{3}) = f(\sqrt{3}) + f(\sqrt{3}) = 3+3= 6

Logo

 f(\sqrt{3} \sqrt{3}) = f(3)=6

Repetimos o procedimento, desta vez fazendo  x = 3 e  y = 3 :

 f(3 \cdot 3) = f(3)=6+6=12

Concluímos que

 f(9) = 12

Que era a primeira parte necessária para a demonstração, precisamos agora saber o valor de  f(1) .

Para tal tomemos  x = \sqrt{3}  y = 1 . Logo:

 f(1 \cdot \sqrt{3} ) = f(1) + f(\sqrt{3}) = f(1) + 3

Como: 

f(1\cdot\sqrt{3})=f(\sqrt{3}) (elemento neutro da multiplicação). Podemos então apresenar a seguinte igualdade:

 f(1\cdot\sqrt{3})=f(1)+f(\sqrt{3})=f(\sqrt{3})
f(1)+f(\sqrt{3})=f(\sqrt{3})
f(1)+3=3
f(1)=0

Para finalizar concluimos que:

 f(9)-f(1)=12-0=12

Q.E.D.
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