Numa pesquisa de mercado sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas aleatoriamente 3.000 pessoas em um supermercado. Foi constatado que:- 1.440 entrevistados consomem ervilhas;
- 1.350 entrevistados consomem milho;
- 1.500 entrevistados consomem palmito;
- 540 entrevistados consomem ervilhas e milho;
- 750 entrevistados consomem milho e palmito;
- 450 entrevistados consomem ervilhas e palmito;
- 150 entrevistados não consomem nenhum dos produtos selecionados.
Pergunta-se:
a) Quantos entrevistados consomem os três produtos.
b) Quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados.

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RESPOSTA PARA QUEM FALOU QUE ESTAVA INCOMPLETA ABAIXO ESTÁ A SOLUÇÃO

Respostas

2014-02-20T16:13:18-03:00

Esta é uma Resposta Verificada

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Olá, Tel550.

Este exercício resolve-se utilizando o Diagrama de Venn, que juntei em anexo.À medida que construímos o diagrama, a solução vai sendo construída simultaneamente e, ao final, ela surge naturalmente.

Inicialmente, chamemos de:

A: conjunto dos entrevistados que consomem ervilhas \Rightarrow n(A)=1440
B: conjunto dos entrevistados que consomem milho \Rightarrow n(B)=1350
C: conjunto dos entrevistados que consomem palmito \Rightarrow n(C)=1500

Vamos agora construir o diagrama:

1.º passo: informar no diagrama o valor de n(A\,\cap\,B \cap C)=n

2.º passo: informar no diagrama o valor de n(A\,\cap\,B)-n(A \cap B \cap C)=540-n

3.º passo: informar no diagrama o valor de n(B\,\cap\,C)-n(A \cap B \cap C)=750-n

4.º passo: informar no diagrama o valor de n(A\,\cap\,C)-n(A \cap B \cap C)=450-n

5.º passo: informar no diagrama o valor de n(A)-(540-n)-(450-n)-n=1440-(540-n)-(450-n)-n

6.º passo: informar no diagrama o valor de n(B)-(540-n)-(750-n)-n=1350-(540-n)-(750-n)-n

7.º passo: informar no diagrama o valor de n(C)-(750-n)-(450-n)-n=1500-(750-n)-(450-n)-n

Observemos agora o diagrama com atenção.

a) Como se pode observar no diagrama, temos que:

\text{[\'Area vermelha] + [\'Areas azuis] + [\'Areas amarelas] =}\\=\text{[Total de entrevistados]  - [n\~ao consomem nenhum dos produtos]}\Rightarrow\\\\
n+540-n+750-n+450-n+1440-(540-n)-\\-(450-n)-n+1350-(540-n)-(750-n)-n+1500-\\-(750-n)-(450-n)-n\Rightarrow\\\\1440+1350-540+1500-750+n-450=2850\Rightarrow\\\\n+2550=2850\Rightarrow\\\\\boxed{n=300}

Resposta: 300 entrevistados consomem os três produtos.

b) O número de entrevistados que consomem um e apenas um dos produtos selecionados é dado pela soma das áreas amarelas do diagrama, ou seja:

\text{[\'Areas amarelas]} =1440-(540-n)-(450-n)-n+1350-\\-(540-n)-(750-n)-n+1500-(750-n)-(450-n)-n=\\=4290-540+n-450+n-n-540+n-750+n-n-750+n=\\=4290-3280+3n=810+3n\\\\\text{Como }n=300\text{, temos que: } 810+3n = \boxed{1710}

Resposta: 1.710 entrevistados consomem um e apenas um dos produtos.

Uma curiosidade interessante sobre o Diagrama de Venn é que, no refeitório da Universidade de Cambridge, há um vitral com o desenho do diagrama (foto anexa), em homenagem ao seu criador, o matemático John Venn, que foi professor lá entre meados do século XIX e início do século XX.