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2013-05-06T23:29:01-03:00

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Jennifer,

 

\begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}=0\\\\\\ \text{Pela Regra de Sarrus}:\\\\ \begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \\ 10 & 4 \\ \end{vmatrix}=x^3+0-2+5x-4x^2-0=0 \Rightarrow\\\\\\ x^3-4x^2+5x-2=0

 

Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:

 

Se  \frac{p}{q}  é raiz da equação polinomial a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,  então:

p  é divisor de  a_0  e  q  é divisor de  a_n

 

No caso, para que  x^3-4x^2+5x-2=0  possua raízes racionais do tipo  \frac{p}{q},  devemos ter:

 

(1)  p   divisor de 2, ou seja: p=\pm2,\pm1

 

(2)  q   divisor de 1, ou seja: q=\pm1

 

Testando-se os valores possíveis de  \frac{p}{q}, verificamos que  x=1  e  x=2

são soluções desta equação.

 

Vamos agora procurar pela terceira raiz:

 

(x-1)(x-2)(x-a)=0 \Rightarrow (x^2-2x-x+2)(x-a)=0 \Rightarrow \\\\ (x^2-3x+2)(x-a)=0 \Rightarrow x^3 - ax^2 - 3x^2 +3ax + 2x - 2a = 0\\\\ \Rightarrow x^3 - (a+3) x^2 + (3a + 2) x - 2a = 0 \Rightarrow \begin{cases}-(a+3)=-4\\3a+2=5\\-2a=-2 \end{cases} \Rightarrow \\\\\boxed{a=1}

 

Encontramos, novamente, o 1 como raiz. Portanto, x=1 é uma raiz de multiplicidade 2.

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