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  • Usuário do Brainly
2014-02-28T17:11:25-03:00

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 Por Indução Finita!

- verifiquemos se a igualdade é verdadeira quando \boxed{n=1} 

1\cdot1!=(1+1)!-1\\1=2-1\\1=1


- quando \boxed{n=k} 

1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!=(k+1)!-1


 Por fim,

- quando \boxed{n=k+1}

1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!+(k+1)\cdot(k+1)!=(k+1+1)!-1\\\\\underbrace{1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!}_{(k+1)!-1}+(k+1)\cdot(k+1)!=(k+2)!-1\\\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)(k+1)!-1\\\\(k+1)!+(k+1)(k+1)!=(k+2)(k+1)!\\\\(k+1)!\left[1+(k+1)\right]=(k+2)(k+1)!\\\\\boxed{(k+1)!(k+2)=(k+2)(k+1)!}

 Cqd.
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