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2014-03-01T15:27:52-03:00
Olha , fazendo essa soma INFINAMENTE não tem um valor exato. Com ferramentas mais avançadas podemos mostrar que ela diverge. Ou seja, não tem um valor fixo. Mas fazendo essa soma FINITAMENTE , você pode reparar que .

1=1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=4²
1+3+5+7+9=25=5²

... Dá pra ver onde quero chegar ? 

temos que:

1+2+3+5+7 ... + (2n+1) = n² 

Ou pondo em palavras , a soma dos N primeiros números ímpares é igual a N ao quadrado.
Você pode provar isso usando indução mas creio que isso seja o que você queria como resposta.