Respostas

2014-03-04T21:07:18-03:00
20. (Ufes 96) Na figura a seguir está representada uma circunferência com centro no ponto C e raio medindo 1 unidade de comprimento. 

A medida do segmento de reta AB nesta unidade de comprimento é igual a 

a) 1/2 
b) √(3)/2 
c) 3/2 
d) 1 + √(3)/2 
e) √3 

Vamos dizer que o terceiro vértice do triângulo é D. 
Vamos prolongar o segmento AB (x) para a direita até encontrar a circunferência no ponto E. Note que AD mede 2 unidades e BD mede (2 − x). 

Observe que o segmento BC é altura (h) do triângulo ACD inscrito na circunferência e sua base AD é diâmetro. Assim podemos aplicar a relação da média geométrica, também estudada nas relações métricas no triângulo retângulo: 

h² = x·(2 − x)   ① 

Aplicando as relações trigonométricas no triângulo retângulo ABC, temos que: 

 h 
— = tg 30° 
 x 

Vamos calcular h² e substituir na equação ①. 

h  √3 
— = —— 
x  3 

  √3 
h = —— · x 
  3 

   3 
h² = —— · x² 
   9 

   x² 
h² = ——   ② 
   3 

Substituindo ② em ①: 
h² = x·(2 − x) 

 x² 
— = x·(2 − x) 
 3 


— = 2 − x 


  x 
x + — = 2 
  3 

 4x 
— = 2 
 3 

   6 
x = —— 
   4 

   3 
x = —— 
   2 

Alternativa C 
4 3 4