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2014-03-07T17:20:31-03:00
Não importa muito como seja a função f(x). Temos o gráfico dela, temos bastante informação.

Vamo pegar uma função qualquer, digamos f(x) = x². Quando fazemos g(x) = f(x)+1 = x²+1 temos que o gráfico de g(x) "subiu uma unidade" em relação ao gráfico de f(x); com isso, g(x) perdeu as duas raízes de f(x) (as raízes de f são 0 e 0... isso é meio retardado de se dizer, mas é a matemática).
Agora vamos pegar a função h(x) = f(x)-1 = x²-1. Fazendo o gráfico de h(x) vemos que ele "desceu uma unidade" em relação ao gráfico de f(x), tendo suas raízes modificadas pra -1 e 1.

O que eu quis dizer com os dois parágrafos acima é que se você tiver o gráfico de uma função f(x) e somar ou diminuir uma quantidade c o gráfico de f vai "subir" ou "descer".

Pelo que foi dito acima, se fizermos g(x) = f(x)+6 teremos que o gráfico de f sobe 6 unidades, ficando, ainda, com três raízes (2, 2 e uma que não precisamos calcular), então para termos uma única raiz teremos que somar alguma coisa maior que 6 a f(x), daí o gráfico "sobe mais do que devia", não passando nem tocando no eixo x ali perto do x=2.
Do mesmo jeito, fazendo h(x) = f(x)-2 temos que o gráfico de f desce 2 unidades, ainda com três raízes, -2, -2 e outra. Pra que isso não aconteça precisamos que ele desça mais que 2 unidades pra ele só cortar o eixo x em um ponto, mesmo argumento do parágrafo anterior.

A gente quer que f(x)=c\Rightarrow f(x) - c = 0 tenha uma única raiz, sendo assim o gráfico tem que "subir ou descer mais do que devia". Como a gente tem que somar a f(x) uma coisa maior que 6 temos que:

-c>6 \Rightarrow c<-6

Ou também podemos subtrair uma coisa maior que 2 (ou somar uma coisa menor que -2, as duas coisas dão no mesmo):

-c<-2 \Rightarrow c>2

Portanto os valores de c que fazem com que f(x) = c tenha uma única solução estão no conjunto:

\boxed{\boxed{S= \{ c \in \mathbb{R} | c<-6 \ \mathrm{ou} \ c>2 \} }}