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2013-05-10T10:09:18-03:00

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Olá, Dominique.

 

Vamos, primeiramente, fatorar o número 540:

 

540|2\\ 270|2\\ 135|3\\ 45|3\\ 15|3\\ 5|5\\ 1\\\\ \Rightarrow 540=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5

 

Para que  \sqrt{\frac{540}{n}}  seja o maior inteiro possível, o valor de  n  deve ser tal que

 

 \frac{540}n  seja o maior quadrado perfeito possível.

 

Assim, o valor de  n  deve ser um número natural tal que, após o inserirmos no denominador da fração e efetuarmos os cancelamentos dos fatores iguais, sobre o maior quadrado perfeito possível.

 

O maior quadrado perfeito possível contido na fatoração de 540 é  2^2 \cdot 3^2.

 

Portanto, devemos ter:

 

n=3 \cdot 5 \Rightarrow \boxed{n=15}

 

Assim:

 

\sqrt{\frac{540}{n}}=\sqrt{\frac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5}{3\cdot 5}}=\sqrt{2^2\cdot3^2}=2\cdot 3=6

 

6 é, portanto, o maior número inteiro possível que  \sqrt{\frac{540}{n}}  pode ser.

 

Resposta\boxed{n=15}

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