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2014-03-11T23:10:49-03:00
Vamos nos lembrar da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG:

S_n = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1},

onde q é a razão. A gente tem o valor de S_{10}, então a gente tem que substituir n=10 e q=4 na fórmula acima e fazer com que a fórmula fique igual ao que temos, o S_{10}:

I) Pela fórmula
S_{10}= \frac{a_1(4^{10}-1)}{4-1} \Rightarrow S_{10}= \frac{a_1(4^{10}-1)}{3} \\ \\ \mathrm{Usando \ o \ fato \ que \ 4=2^2 \ temos \ que: } \\ \\ S_{10}= \frac{a_1((2^2)^{10}-1)}{3} \Rightarrow S_{10}= \frac{a_1(2^{20}-1)}{3}

II) Igualando os dois valores de S_{10}, o que encontramos acima e o que foi dado:
\frac{a_1(2^{20}-1)}{3} = \frac{2^{20}-1}{6} \Rightarrow \underline{a_1= \frac{1}{2}}

III) Temos a_1 e q, agora é só calcular a_5 pela fórmula do termo geral:
a_n=a_1.q^{n-1} \Rightarrow a_5=\frac{1}{2}.4^{4} \\ \\ \mathrm{Usando \ de \ novo \ o \ fato \ que \ 4=2^2 \ temos: } \\ \\ a_5=\frac{(2^2)^4}{2}=\frac{2^8}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{a_5=2^7=128}}