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2014-03-17T01:51:43-03:00

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Olá, Rodgg.


a) Como x é a quantidade de adubo por hectare, então, se o agricultor não aduba a terra, isto significa que x = 0. Pela tabela, a produção, neste caso, é P = 3 toneladas.


b) P(0)=c=3

\begin{cases}p(2)=5\Rightarrow a\cdot2^2+b\cdot2+3=5\Rightarrow 4a+2b=2\Rightarrow 2a+b=1\\p(4)=6\Rightarrow a\cdot4^2+b\cdot4+3=6\Rightarrow 16a+4b=3\end{cases}\Rightarrow

\begin{cases}16a+8b=8\\16a+4b=3\end{cases}(-)\Rightarrow4b=5\Rightarrow b=\frac54

2a+b=1\Rightarrow 2a+\frac54=1\Rightarrow 2a=-\frac14\Rightarrow a=-\frac18


c) A função é: P(x)=-\frac18x^2+\frac54x+3

É uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Seu ponto crítico, portanto, é o máximo da parábola.
Para encontrar este ponto crítico, vamos calcular a primeira derivada e igualar a zero:

P'(x)=0\Rightarrow -\frac28x+\frac54=0\Rightarrow -\frac14x+\frac54=0\Rightarrow \boxed{x^\star=5\text{ kg/ha}}

A produção máxima, para uma quantidade de adubo x^\star=5 é de:

P(x^\star)=P(5)=-\frac18\cdot25+\frac54\cdot5+3=-\frac{25}8+\frac{50}8+\frac{24}8=\frac{49}8\Rightarrow\\\\
\boxed{P(5)=6,125\text{ toneladas}}