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2014-03-18T19:53:39-03:00
Antes vamos escrever todos os termos em função do a_1 \mathrm{e \ de} \ q, a razão (só usar a fórmula do termo geral pra isso):

a_2=a_1.q \hspace{1,3cm} a_3=a_1.q^2 \hspace{1,3cm} a_4=a_1.q^3

Agora que temos os termos em função do que queremos podemos calcular as somas:

a_1+a_2=1 \Rightarrow a_1+a_1.q=1 \Rightarrow a_1(1+q)=1
(Coloquei em evidência o a_1, tu vai já já entender porque)

a_3+a_4=9 \Rightarrow a_1.q^2+a_1.q^3=9 \Rightarrow q^2.a_1(1+q)=9
(Coloquei a_1.q^2 em evidência e reescrevi daquela forma, já que é uma multiplicação e tu pode fazer isso)

Por causa da primeira soma a gente sabe o valor de a_1(1+q). Substituindo esse valor na segunda soma temos:

q^2.a_1(1+q)=9 \hspace{0,2cm} {a_1(1+q)=1 \atop \Rightarrow} \hspace{0,2cm} q^2.1=9 \\ \\ \boxed{q=3 \ \mathrm{ou} \ q=-3}

Temos dois possíveis valores pra razão da PG, então teremos dois possíveis valores pro primeiro termo e duas possíveis PGs. Vamos analisar os dois casos:

i) q=3
a_1(1+q)=1 \Rightarrow a_1.4=1 \Rightarrow a_1=\frac{1}{4}

Então a PG seria
\boxed{\left( \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{9}{4}, \frac{27}{4}, \ldots \right) }

ii) q=-3
a_1(1+q)=1 \Rightarrow a_1(1+(-3))=1 \Rightarrow a_1.(-2)=1 \Rightarrow a_1=\frac{-1}{2}

Então a PG seria
\boxed{\left( \frac{-1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{-9}{2}, \frac{27}{2}, \ldots \right)}