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2014-03-31T09:55:38-03:00

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Olá, Avicci.

x^2+4x-4p+20=0

Resolvendo por Bhaskara:

\Delta = 16 - 4(-4p+20) = 16+16p-80=16p-64=16(p-4)\Rightarrow\\\\\sqrt\Delta=4\sqrt{p-4}\Rightarrow

x = \frac{-4\pm4\sqrt{p-4}}{2}=-2\pm2\sqrt{p-4}

Cabe agora algumas considerações:
1) x esta definido apenas para p > 4, em razão da raiz quadrada;
2) a solução x=-2-2\sqrt{p-4} não interessa, pois é sempre negativa e não existe produção negativa.

A solução, portanto, é x=-2+2\sqrt{p-4}, com p>4.

Para obter o preço p mínimo, devemos reescrever a solução como sendo uma função p(x):

2\sqrt{p-4}=x+2\Rightarrow \sqrt{p-4}=\frac x 2+1\Rightarrow p-4=(\frac{x}{2}+1)^2\Rightarrow\\\\
 p(x)=\frac{x^2}4+x+1+4=\frac{x^2}4+x+5

p(x) é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isto quer dizer que seu ponto crítico é um mínimo. Derivemos p(x) e igualemos a zero para procurar seu ponto crítico, que sabemos ser um mínimo:

p'(x)=0\Rightarrow \frac{x}2+1=0\Rightarrow\,x=-2<0

Como x < 0 significa uma produção negativa (impossível), então o preço mínimo ocorre em x = 0:

p(0)=0+0+5=5

O preço mínimo, portanto, é de R$ 5,00.
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