Respostas

2014-03-31T15:33:57-03:00
I) Olhe a figura. Note que o triângulo AOB é isósceles, portanto O\^BA=\alpha. Note, ainda, que o triângulo AOP é retângulo, por conta do que ele falou sobre "menor distância".
Portanto, para encontrarmos a medida de AÔB precisamos saber apenas a medida de α, já que:

\alpha+\alpha+A\^OB=180\Rightarrow \boxed{A\^OB=180-2\alpha}

ii) Das relações trigonométricas temos que:

\mathrm{sen}\alpha=\frac{CO}{H}

onde CO é a medida do cateto oposto e H é a medida da hipotenusa. O triângulo AOP é retângulo, portanto podemos calcular a medida de α se soubermos seu seno. Nesse triângulo temos que CO=2 e H=4, daí:

\mathrm{sen}\alpha=\frac{2}{4}\Rightarrow\mathrm{sen}\alpha=\frac12\Rightarrow\boxed{\alpha=30^{\mathrm{o}}}

iii) Agora que temos o valor de α temos apenas que calcular o valor do ângulo que queremos:

A\^OB=180-2\alpha\Rightarrow A\^OB=180-2.30 \Rightarrow A\^OB=180-60 \\ \\ \boxed{\boxed{A\^OB=120^{\mathrm{o}}}}
1 5 1